Родился в семье поляка-эмигранта, который в 1933 году приехал в СССР строить новый мир. В 1937 году отца репрессировали. Мать, украинка, происходила из зажиточной семьи столыпинских переселенцев в Сибирь; в период коллективизации дед по материнской линии переехал в Свердловск.

После смерти мужа мать Филозова часто меняла работу, была и киномехаником. Так маленький Альберт пристрастился к кино, смотря фильмы из кинобудки. Он рано увлёкся книгами, благодаря хорошему голосу попал в хор; в переходном возрасте голос пропал, и Альберт перешёл в театральный кружок. Окончив 8 классов (учился он средне), Альберт устроился токарем на Государственный подшипниковый завод № 6, среднее образование завершал в вечерней школ.

В 1955 году был принят выездной комиссией в Школу-студию МХАТ

Окончив учёбу в 1959 году, отработал в Московском драматическом театре им. К. С. Станиславского у М. М. Яншина, вводился на роли уже очень популярного тогда Е. П. Леонова. В 1960/1961 году служил в театре имени Ермоловой.

В том же 1961 году был призван в армию, отслужил два года (в сапёрном батальоне)[2], командовал военным оркестром в Рязанском училище связи.

В 1963 году вернулся в Московский драматический театр им. К. С. Станиславского (в котором формально числился до 1990 года).

Заслуженный артист РСФСР (1983).

С 1989 года до конца жизни играл в спектаклях театра «Школа современной пьесы».

В 1991—1995 годах был мастером (совместно с Арменом Джигарханяном) актёрского курса во ВГИКе, преподавал также в РАТИ.

Народный артист Российской Федерации (1994)

В 2007 году дебютировал в качестве режиссёра.

Последние годы жизни боролся с онкологическим заболеванием, прошёл период ремиссии, но потом его состояние резко ухудшилось и утром 11 апреля 2016 года он умер.

Похоронен 13 апреля на Ваганьковском кладбище (участок № 43)