Прах Годунова был развеян над Тихим океаном, его мемориал находится в Лос-Анджелесе. Эпитафия на могиле гласит: «His future remained in the past» (Его будущее осталось в прошлом).

Александр Годунов скоропостижно скончался 18 мая 1995 года в своём доме в Западном Голливуде, врачи не обнаружили ни следов насилия, ни травм, ни признаков алкоголя или наркотиков в крови.

В 1958 Годунов поступил в Рижское хореографическое училище, которое окончил в 1967; в 1967—1971 годах танцевал в Государственном хореографическом ансамбле «Классический балет».

Годунов был принят в труппу Театра Американского Балета, где выступал как ведущий танцор до 1982, откуда ушёл из-за ссоры со своим другом и руководителем труппы Михаилом Барышниковым; некоторое время выступал с собственной труппой. Затем он ушёл из балета и начал кинокарьеру, долгое время поддерживал близкие отношения с киноактрисой Жаклин Биссет (до 1988).

Полное имя - Александр Борисович Годунов.

23 августа 1979 во время гастролей Большого Театра в Нью-Йорке, Годунов обратился к американским властям с просьбой политического убежища; после известия о его отсутствии советские власти отправили жену Годунова — Людмилу Власову, единственную из труппы, на самолёте в Москву. Однако самолёт был задержан американскими властями прямо перед взлётом, и Государственный департамент потребовал предоставить доказательства того, что Власова возвращается в СССР добровольно. Вслед за этим в инцидент оказались вовлечены лидеры СССР и США Леонид Брежнев и Джимми Картер; в конце концов через 3 дня самолёту с Власовой было позволено вылететь в СССР.

Символическая могила Годунова находится на Введенском кладбище Москвы.